> Не пойму в чём именно проблема.

а что не так? у меня нормально работает пример выше.
на сервере только поменял на “sock.send(b”bye“)” (отправляем байты)

Я же говорю.. у меня не срабатывает условие. По идее, если ввести “exit”, то программы должны закрыться, но этого не происходит и они продолжают работать.

В сервере изменил на “sock.send(b”bye“)”, но это ничего не изменило.

Ошибка в том, что вы передаете еще и символ конца строки. Избавиться можно следующим образом:
После этого следует выполнять проверку условия, все должно работать.