py.user.next
Рассмотрим треугольник…. Но может ли она его не обойти?, Тут пока что аргументы 1) “а я хочу, чтобы баланс нарушался” и 2) “а нарушение баланса вероятно, и поэтому он нарушится”.

Нет, тут аргументы чистая математика. Смотри, с треугольником вобще проще всего. Берем треугольник АВС. Изначально фишка стоит на вершине А.
Первый ход: Какая вероятность что фишка обойдет все вершини за первый ход? 0 по вполне понятным причинам, фишка не может обойти все вершины за количество ходов меньшее чем количество вершин-1. Какая вероятность что фишка станет на не обойденую вершину? 1 - потому что все вершины кроме той на которой фишка уже стоит еще не обойдены, а на месте фишка остаться не может.Значит в лбом слкчае она окажеться на необойденой вершине.
Второй ход: не зависимо от того на какую вершину фишка встала на предыдущем ходу вероятность того в этот ход она встанет на последнюю незанятую вершину равна 1/2 поскольку у нас осталась всего 1 необойденая вершина, и фишка стоит на соседней вершине. Соответственно вероятность того что не станет тоже 1/2.
Третий ход: вероятность того что она займет последнюю еще необойденную вершину равна опять 1/2, но тут нам нужно вспомнить что у нас не отдельные испытания(подбрасывания монетки) а серия, следовательно нужно учитывать вероятность обхода всей фигуры фишкой в предыдущие ходы и вероятность того что за три хода фишка займет необойденую вершину равна уже 1/2+1/4=3/4, а вероятность того что не займет 1-(1/2+1/4)=1/4.
Четвертый ход: вероятности 1/2+1/4+1/8=7/8 что обойдет и 1/8 что не обойдет…

K-й ход: соответствено вероятность того что фишка обойдет треугольник за k ходов будет 1/2+1/4+1/8….1/2**(k-n+1) при условии что k >= (n) где n количество углов n-угольника( в данном случае 3), а +1 потому что фишка у нас изначальноу уже стоит на одной вершине, тоесть она ее уже обошла.
Это классическая геометрическая прогрессия вида a+ab+ab**2+….ab**k. при. В примере с треугольником мы ее можем записать так:
1/2 +1/2*1/2+1/2+1/2**2+1/2**3+…1/2**(k-n+1). следовательно a=1/2 и b=1/2
Учитывая что количество ходов у нас бесконечно, а |b|<1, то прогрессия выходит бесконечной убывающей, а вероятность того что фишка обойдет все вершины за бесксонечно ходов равна сумме этой прогрессии. Чему эта сумма равна учат еще в школе S=a/(1-b). Подставляем наши чила S=1/2 : (1-1/2)=1.
Тоесть вероятность того что фишка обойдет все вершины за бесконечное количество ходов = 1 и это событие называется “достоверным”(обязательно произойдёт).

Теперь возьмемся подсчитать вероятность того что фишка не обойдет все вершины за k ходов. за один ход это 1, за два: 1/2 , за три: 1/4 за четыре: 1/8… за десять: 1/512… за k: 1/2**(k-1). учитывая что количество ходов у нас бесконечно то и вероятность что за бесконечное количество ходов фишка не обойдет треугольник равна 1/2 в бесконечной степени. Число “а” в бесконечной степени равно 0 при условии что 0<а<1, это вроде тоже еще в школе проходят.
Итого вероятность того что за бесконечное количество ходов фишка так и не обойдет все вершины равна 0 и такое событи назваетеся “невозможным” (заведомо не произойдёт).

PEHDOM
Соответственно вероятность того что не станет тоже 1/2.

Она не только не встанет, она к тому же вернётся обратно, в исходную позицию.

Нашёл тут введение в теорию вероятности для школьников
https://matematikalegko.ru/veroyatnosti/classicheskaya-veroyatnost-sobitiya.html
https://matematikalegko.ru/veroyatnosti/slozhenie-i-umnozhenie-veroyatnostej.html
https://matematikalegko.ru/veroyatnosti/kovboi-john-popadaet-v-muchu.html

Вот получается, что для обхода вершин в одну сторону нужно применять умножение вероятностей.
Для обхода треугольника (без зацикливания, просто чтобы фишка побывала на всех вершинах) за два хода нужно вычислить 1/2 * 1/2 = 1/4. Но при этом фишка вернётся в исходное положение тоже с такой же вероятностью 1/2 * 1/2 = 1/4.
Ну и что мы имеем?
Что за два шага фишка обойдёт треугольник (из точки A в точку B и из точки B в точку C) с той же вероятностью, с какой и вернётся в исходную позицию (из точки A в точку B и из точки B в точку A).

Аналогичная задача

Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна 1/6. Вероятность выпадения шестёрки и в первый раз и во второй раз равна произведению вероятностей:
1/6 * 1/6 = 1/36

tags: probability

py.user.next
Она не только не встанет, она к тому же вернётся обратно, в исходную позицию.

На какой бы вершине теугольника фишка не находилась на следующий ход у нее все равно шанс обойти весь треугольник равен 1/2 .

py.user.next
Для обхода треугольника (без зацикливания, просто чтобы фишка побывала на всех вершинах) за два хода нужно вычислить 1/2 * 1/2 = 1/4. Но при этом фишка вернётся в исходное положение тоже с такой же вероятностью 1/2 * 1/2 = 1/4.

А куда еще однавторая делась? 1/4 + 1/4 = 1/2 ,а ведь сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Если вероятность того что фишка займет одну из вершин(вернеться в исходную точкуи не обойдет треугольник) равна 1/4 и вероятность попасть на вторую из двух доступных вершин(и обойти треугольник)тоже равна 1/4 то вероятность чего оставшееся 1/2? того что фишку похитят инопланетяне, или она по дороге от одной вершины до другой упадет в сугроб и замерзнет?
То что ты пишешь это типичная ошибка игрока. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0
Нужно различать вероятность одного события, вероятность нескольких событий подряд. У нас есть аж три разных вероятности: вероятность фишки занято конкретную вершину в произвольный момент времени, вероятность фишки занять нужную вершину в какойто конкреный момент времени(например ровно на пятый ход), и вероятность что за n ходов фишка хотя бы раз побывает на нужной вершине(или ни разу не побывает).
Вероятность того что в каждом ходу(для треугольника) фишка займет последнюю необойденную точку равна 1/2 ровно так же как и вероятность фишки вернуться в исходное положение равна 1/2.
Вот нарисуй себе треугольник ABC, Изначально фишка стоит на вершине А. ты бросаешь монетку, какова вероятность что фишка займет вершину B? 1/2. А какова вероятность что верщину С? Правильно, тоже 1/2.
Теперь второй ход какова вероятность фишки оказаться на вершине А ? а вот нифига не 1/4, а все теже 1/2, потому как у монетки все два варианта выпадения.
А какая вероятность что ЗА ДВА ХОДА фишка не обойдет треугольник? Нужно чтобы она проделала путь А- B(1/2), В-А(1/2),(на всякий случай А-В это не минус это путь фишки) ИЛИ(сложение) проделала путь A-С, С-А . Итого 1/2*1/2+1/2*1/2 = 1/2. Ровно такая же вероятность, что фишка проделает путь А-B, В-C или A-C, С-B, тоесть обойдет треугольник.
А теперь самое интересное. Третий ход. вероятность фищки оказаться на любой из вершин треугольника кроме той где она сейчас находиться по прежнему равна 1/2. НО вероятность того что ЗА ТРИ ХОДА фишка так и не обойдет треугольник равна вероятности того что фишка или ни разу не побывает на точке С или ни разу не побывает на точке B. Тоесть или походит А-B, B-A, A-B или А-С, С-А, А-С. Больше никаких вариантов. В цифрах это: 1/2*1/2*1/2+1/2*1/2*1/2= 1/4.
А теперь смотрим вероятность того что ЗА ТРИ ХОДА фишка побывает на всех вершинах: Она или пройдет по пути А-B, В-C, или А-С,С-В или А-В,В-А,А-С, или А-С, С-А, А-В подставляем вероятности 1/2*1/2+1/2*1/2+1/2*1/2*1/2+1/2*1/2*1/2 = 3/4 .
По другому: Вероятность того что именно на третий ход фишка обойдет все вершины действительно 1/4, НО вероятность того что фишка обойдет все вершины за три хода это сумма вероятностей того что фишка обойдет все вершины или на второй ход или на а третий. Тоесть 1/2+1/4 и всеравно выходит 3/4

За четыре соответственно вероятности будут 1/8 что не обойдет и 7/8 что обойдет, за пять : 1/16 и 15/16 и так далее… за бесконечное количество ходов 0 и 1. все формулы я уже приводил в предыдущем посте.

PEHDOM
А куда еще однавторая делась? 1/4 + 1/4 = 1/2

Мы сделали два шага. Вот за два шага фишка может как обойти его, так и не обойти и вернуться в исходное положение. А потом мы можем сделать ещё два шага, повторив всё то же самое. То, что есть вероястноть 1/2, что фишка после возврата в исходное положение шагнёт в другую сторону и обойдёт треугольник тем самым, мы об этом помним, конечно, но это может и не произойти. Может пойти всё тем же путём, как и в первый раз, и снова вернуть в исходное положение. То есть это B-A-B-A-B-A-… - то есть начать топтаться на месте. Мы не говорим, что нет вероятности, что треугольник будет обойдён сразу типа B-C или B-A-C. Такая вероятность есть, но есть и вероятность топтания на B-A.

PEHDOM
То что ты пишешь это типичная ошибка игрока.

Ошибку игрока я не делал. Ошибка игрока - это когда человек не понимает, что там выпадает. Я же использую только заданные вероятности и правило умножения событий. Мы должны два раза шагнуть по многоугольнику в одну сторону, поэтому нам и нужно здесь умножать события (через умножение их вероятностей). Это то же самое, что подбрасывая монетку два раза, оба раз получить орла или оба раза получить решку.

Например, у нас есть одна монетка, и чтобы подбросить её три раза и все три раза получить орла, мы берём вероятность каждого орла при очередном броске монетки и их друг на друга умножаем. Получается 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/(2^3) = 1/8. То есть чтобы получить три орла, нам среднестатистически нужно подбросить по три раза монетку восемь раз. То есть ты один раз монетку три раза подбросил - получил орёл-орёл-решка. Потом ты второй раз подбрасываешь монетку три раза и получаешь орёл-решка-орёл. Ну и так далее. И вот так ты восемь раз делаешь и один раз у тебя выпадет орёл-орёл-орёл. Но не факт, что оно так выпадет, но оно должно так выпасть. Решка-решка-решка тоже должно так выпасть.

py.user.next
но есть и вероятность топтания на B-A.

Такая вероятность ест при конечном количестве попыток, А при бесконечном количестве - нет.
Какая вероятность что оно хотябы 10 раз потопчеться на В-А? 1/1024, а 20 раз уже - 1/1048576, а если сто раз ? Если ты будешь подбрасывать монетку по сто раз в секунду, то тебе понадобиться в среднем 40*10**21 лет, чтобы эта вероятность сработала, для сравнения возраст нашей вселенной всего 14*10**9 лет. Cответсвено при бесконечном количестве ходов вероятность равна 0. Да она уже в принципе равна нулю и при 20 подбрасываниях. А у нас спрашивали среднее количество ходов, а не максимально возможное, если даже один раз из миллиона оно таки будет обходить фигуру на 20-м ходу то это особо на статистику не повлияет. Потому как окажет влияние на 8-й знак после запятой.

py.user.next
Мы должны два раза шагнуть по многоугольнику в одну сторону, поэтому нам и нужно здесь умножать события (через умножение их вероятностей). Это то же самое, что подбрасывая монетку два раза, оба раз получить орла или оба раза получить решку.

Не совсем, ты забываешь что оно может пойти как по часовой стрелке так и против. Нас устраивают оба варианта. Это то же самое, что подбрасывая монетку два раза, оба раз получить орла или оба раза получить решку но только вароятность этого не 1/4, а 1/2 поскольку эти события взаимоисключающие. Ты не можешь одновременно получить два орла и две решки. Поэтому вероятности получения двух оролов ты сеуммируешь с вероятностью получения двух решек.

PEHDOM
Не совсем, ты забываешь что оно может пойти как по часовой стрелке так и против.

В треугольнике они ничем не отличаются. Можно их просуммировать, потому что нас устроит любой исход из них (и они вместе устроили бы, если бы вместе были возможны). Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Но вероятность возврата в исходную точку точно так же возникает с двух сторон. И если мы говорим, что вероятность обхода равна 1/2, то и вероятность возврата тоже равна 1/2.

Так что тут ситуация сохраняется. Куда оно перевешивает по вероятности обхода/возврата, если с обеих сторон и туда 1/2, и туда 1/2?

Увеличение ходов до бесконечности превращает вероятность необхода в ноль. А вероятность обхода оно почему в ноль не превращает по тому же принципу? Ты же ссылаешься на конечность числа шагов и что их бесконечность меняет исход с благоприятного на неблагоприятный.

py.user.next
А вероятность обхода оно почему в ноль не превращает по тому же принципу? Ты же ссылаешься на конечность числа шагов и что их бесконечность меняет исход с благоприятного на неблагоприятный.

А почему оно должно вероятность обхода в ноль првращать?
смотри вот возьмем 10 ходов. Сколько у нас возможных исходов? Аж целых два, или не обойдет или обойдет (почти как как в анекдоте с блондинкой и динозавром). Эти два события образуют полную группу(множество) событий. Если некие события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна единице. Отсюда вероятность одного события равна единица минус сумма веротностей остальных событий составляющих с этим событием полную группу.
Итак чтобы, например, фишка, не обошла треугольник за 10 ходов, нужно чтобы 10 раз подряд выпало орел-решка-орл-решка…. Вероятность этого, как мы уже посчитали, равна 1/2**10=1/1024. Следовательно вероятность что фишка обойдет треугольник (тоесть из 10 подбрасываний хотябы раз выпадет два раза подряд орел или решка) равна 1-1/1024=1023/1024.
При этом, не стоит путать вероятность того что фишка обойдет весь треугольник (не более чем)за 10 ходов и то что фишка завершит обход конкретно на десятый ход. вероятность первого 1023/1024, а второго 1/1024.

Теперь увеличиваем количество ходов до бесконечности. Следовательно вероятность необойти становиться равна 1/2**∞=0. Отсюда вероятность обойти равна 1-1/2**∞=1-0=1

Можно пойти и с другой стороны,посчитать сначала вероятность того что обойдет (все рассчеты я уже приводил).В итоге при бесконечных ходах, вероятность равна сумме бесконечной убывающей геометрической бесконечной прогрессии и эта сумма равна 1. следовательно веростноять того что не обойдет равна 1-1=0.
Все сходиться хоть так хоть эдак.

Скачал, почитал учебник
“Теория вероятностей и математическая статистика.” Гмурман В.Е. 2003

Повторил ряды ещё сегодня.

Числовой ряд вероятностей попадания фишки на каждую вершину последовательно:
1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/(2^n), где n->+inf

При одном шаге попадание на следующую вершину равно 1/2.
При двух шагах попадание и на следующую вершину, и следующую после неё в ту же сторону равно 1/4.
При трёх шагах попадание и на следующую вершину, и следующую после неё, и следующую после неё в ту же сторону равно 1/8.
Дальнейшие шаги вычисляются аналогично - через степень двойки в знаменателе.
В основе лежит правило умножения вероятностей последовательных событий. P(A * B) = P(A) * P(B).

Дальше мы берём этот ряд и выясняем его сходимость.
Сам ряд записываем в виде суммы:
Sum 1/(2^n), где n = 1 .. +inf

Используем критерий Коши.
1) Надо проверить предел n-ого члена при n->+inf
Чтобы ряд сходился, предел должен равняться нулю.
2) Надо наити предел частичной суммы ряда Sn.
Для этого надо записать ряд от 1-ого члена до n-ого члена и сократить его по максимуму, чтобы найти предел всего этого.

Проверяем предел n-ого члена:
lim(1/(2^n)), при n->+inf равен 0. Необходимый и достаточный признак сходимости соблюдён.

Ищем предел частичной суммы Sn:
Записываем ряд в развёрнутом виде до n-ого члена
1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/(2^n)

Выражаем частичную сумму Sn и упрощаем её выражение
Sn = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/(2^n) = 2/4 + 1/4 + 1/8 + … + 1/(2^n) = 3/4 + 1/8 + … + 1/(2^n) = 6/8 + 1/8 + … + 1/(2^n) = 7/8 + … + 1/(2^n) = … = (2^n - 1) / (2^n)

Ищем предел упрощённой частичной суммы Sn:
lim((2^n - 1) / (2^n)), при n->+inf равен 1.
Чтобы вычислить, делим всё на 2^n и получается (1 - 1/(2^n))/1. Подставляем бесконечность вместо n и получаем (1 - 1/inf)/1 = (1 - 0)/1 = 1.
wolfram: проверка

Так что нам не нужна геометрическая прогрессия, так как она редко будет попадаться в таких задачах. Общее решение делается через аппарат исследования рядов.

Согласен с использованием полной группы событий. Хоть события в аргументации используются и не элементарные (событие обхода многоугольника можно разложить на события попадания фишки на углы; события попадания фишки на углы неразложимы на другие события, поэтому являются элементарными в данной задаче), определение полноты группы событий не требует элементарности событий в группе. Определение полной группы событий можно прочитать в учебнике Гмурмана.

Через полноту группы мы доказываем, что при бесконечном числе шагов и вершин многоугольника событие обхода всех вершин произойдёт, а событие необхода не произойдёт. Исследование ряда показало, что вероятность суммы событий обхода равна 1. Полнота группы даёт право вычислить вероятность необхода через вычитание из единицы. 1 - 1 = 0.


tags: row math

py.user.next
Скачал, почитал учебник
“Теория вероятностей и математическая статистика.” Гмурман В.Е. 2003

таки дошел до такой степени заинтересованости

py.user.next
Так что нам не нужна геометрическая прогрессия, так как она редко будет попадаться в таких задачах. Общее решение делается через аппарат исследования рядов.

ну нужна или не нужна это дело вкуса, кому как удобнее, главное что и так и так результат выходит одним и тем же. Что вобщем то еще раз доказывает его верность.

py.user.next
Через полноту группы мы доказываем, что при бесконечном числе шагов и вершин многоугольника событие обхода всех вершин произойдёт, а событие необхода не произойдёт. Исследование ряда показало, что вероятность суммы событий обхода равна 1. Полнота группы даёт право вычислить вероятность необхода через вычитание из единицы. 1 - 1 = 0.

Ну наконец то , а то “…либо обойдёт, либо нет. Или скорее всего обойдёт, но иногда, может быть, и не обойдёт”

PEHDOM
Ну наконец то

Осталось доказать, что ряд
1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/(2^n), где n->+inf
правомерен.

Я взял-то его с потолка, он ничем не обоснован пока что. Можно ли складывать эти вероятности? Складывать-то можно, но говорит ли это об обходе многоугольника?